已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CD⊥AB，点C是AE的中点，AE分别交CD、BC于G、H，DC与BE的延
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解题思路：①如图，连接AD．由全等三角形的判定定理AAS易证得△CGE≌△AGD，则该全等三角形的对应边相等，即GD=GE；
②欲证明点G是△ACH的外心，只需证明点G是AC与CH中垂线的交点即可；
③如图，延长CO交⊙O于点G′，连接BG′．构建圆内接四边形CEBG′．由圆内接四边形的内对角互补、邻补角的定义得到∠G′+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，则易求
∠G′=∠FEC．然后由圆周角定理得到∠COB=2∠FEC．
①如图，连接AD．
∵弦CD⊥AB，点C是
AE的中点，
∴
AD=
AC=
CE，
∴∠ACG=∠GAC，
∴CG=AG．
∴在△CGE与△AGD中，
∠CEG＝∠ADG
∠CGE＝∠AGD
CG＝AG，
∴△CGE≌△AGD（AAS），
∴GD=GE．
故①正确；
②由①知，∠ACG=∠GAC，则点G在AC边的中垂线上．
∵AB是直径．
∴∠ACB=90°．
∴∠HCG=90°-∠ACG．
又∠CHA=90°-∠GAC，
∴∠HCG=∠CHA，即∠HCG=∠CHG，
∴CG=GH，
∴点G在边CH的中垂线上．
∴点G是△ACH的外心．
故②正确；
③如图，延长CO交⊙O于点G′，连接BG′．
∵∠G′+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，
∴∠G′=∠FEC．
又∵∠COB=2∠G′，
∴∠COB=2∠FEC．
故③正确．
故答案是：①②③．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了圆的综合题．解题中所涉及的知识点有圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系，三角形的外心以及圆内接四边形的性质等．此题的难点是图中辅助线的做法．
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