E.F是平行四边形ABCD中BC,DC边的中点,AE,AF交BD于M,N.求证：M,N是BD的三等份点.（不用相似三角形
1个回答
不用相似三角形证明,也不用比例及三角形中位线定理的逆定理证明?(我想楼主一定是自己证得了.)
我就献丑了.证明思路如下：
依题画图,从C点连接AB和AD的中点点G和点H,连接CG和CH,那么AF∥CG,AE∥CH.
CG和CH是否一定经过M、N呢?
利用反证法:即CG与AE、BD都有交点（S1、S2）CH与AF、BD都有交点
（S3、S4）.连接AS1CS3,那么四边形AS1CS3应该为平行四边形,
即AC与s1s3应该互相平分.而实际上AC的中点在BD上,所以与原假设不符合,
所以CG和CH一定经过M、N.即四边形AMCN为平行四边形.
如此易证得：BM=DN.（△BMG≌△DNF）
延长AF至K点,连接CK,使得CK∥BD.
在四边形cknm中,因为MN∥CK,CM∥AF,所以四边形cknm为平行四边形.
所以CK=MN.
因为F为CD的中点,即CF=DF且DN∥CK.所以△FDN≌△FCK.
所以CK=DN,
因为CK=MN,CK=DN,BM=DN所以BM=MN=ND
所以M,N是BD的三等份点 .
相关问题
