域GF(2^m)中一定有本原域元素,可是本原域元素的个数可不可以不止一个?
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虽然学过抽代,但是对你这里的术语不太了解,先确认一下.
域中一个非零元素a的级,是指最小的正整数k,使a^k = 1.
有限域GF(q)中的本原元素,是指级为q-1的元素.
你这里的m次本原多项式,是指GF(p^m)中本原元素在GF(p)上的极小多项式?
任意一个有限域的乘法群都是一个循环群.
按你的定义,一个元素称为本原元素,是指该元素可以生成整个循环群.
在一个n阶循环群中,有φ(n)个元素可以作为生成元.
其中φ(n)是欧拉函数,表示1至n的整数中与n互质的个数.
以GF(64)为例,乘法群是一个63阶循环群.
设a是一个本原元素,乘法群中的元素可唯一表示为a^k,k = 1,2,...,62,63.
可知a^k是本原元素当且仅当k与63互质,共有φ(63) = 36个.
这些元素的级都为63,都是本原元素.
但是,一个元素能生成整个域并不说明其为本原元素,因为这里的生成还包括加法.
还是上面的例子,a^3的阶为21,不是本原元素,但是a^3不在GF(64)的真子域GF(4)或GF(8)中.
因此GF(64) = GF(2)(a^3),即a^3可以在GF(2)上生成GF(64).
由此可知,a^3在GF(2)上的极小多项式是GF(2)上的6次不可约多项式,但不是本原多项式.
要求本原多项式的个数可以这样.
GF(p^m)的乘法群是p^m-1阶循环群,因此有φ(p^m-1)个本原元素.
任意本原元素的极小多项式是m次不可约多项式,无重根且所有根都是本原元素.
两个不等价(相差非零常数倍)的本原多项式无公共根.
因此共有φ(p^m-1)/m个本原多项式.
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