我的理解是,泛函分析充分体现了数学抽象的威力.本科泛函课程内容一般是先考虑任意抽象集合上赋予一些结构（如度量,线性结构,度量和线性结构结合成范数或半范数,内积）会发现赋予度量后曾经在数学分析中学到关于欧式空间的许多分析的性质依然成立,若把这个集合赋予线性运算形成线性空间且还可赋予内积,那么这个抽象集合和我们熟悉的的欧式空间就更近了.这一部分内容的思想在学一些点集拓扑后会理解的更好.之后,在这个基础上,我们就可以尝试把不同性质的函数集合做成度量空间,赋范线性空间,内积空间,然后考虑空间到空间的映射,这也就是算子的概念,若是映到实数,复数域,这也就是泛函的概念.然后会发现有界线性算子有很好的性质,紧算子就更好了,然后再初步的考虑了算子的谱的简单性质.总之泛函是对经典分析学的抽象,进而可以将函数看成“点”,研究函数空间及其上算子的性质
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