已知：数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n(a1+an)2，
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解题思路：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明{an}是等差数列；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明．
证明：（Ⅰ）当n≥2时，Sn＝
n(a1+an)
2①，Sn−1＝
(n−1)(a1+an−1)
2②
①-②得：an＝
n(a1+an)
2−
(n−1)(a1+an−1)
2
∴2an=nan-（n-1）an-1+a1③…（2分）2an+1=（n+1）an+1-nan+a1④
④-③得：2an+1-2an=（n+1）an+1-2nan+（n-1）an-1…（3分）
∴（n-1）an+1+（n-1）an-1=2（n-1）an…（4分）
即：an+1+an-1=2an
∴{an}是等差数列；…（5分）
（Ⅱ）①当n=1时，
1
a21＝
1
(1+a)2＜
1
(1+
a
2)(1+
3
2a)不等式成立，…（6分）
②假设n=k（k≥1）时，不等式成立，
即[1
a21+
1
a22+…+
1
a2k＜
k
(1+
a/2)(1+
2k+1
2a)]…（7分）
那么n=k+1时，
1
a21+
1
a22+…+
1
a2k+
1
a2k+1＜
k
(1+
a
2)(1+
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．
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