记其密度为f(x),而取值区间为[a,b],则有
EX=∫(积分限为a到b)xf(x)dx
≤∫(积分限为a到b)bf(x)dx (因为在[a,b]上有xf(x)≤bf(x))
=b ∫(积分限为a到b)f(x)dx =b
类似可证 EX≥a.
说明：此结论对任何有界随机变量均成立,不限于连续型.
离散情形的证明类似,都是用定义,然后适当放缩.
更一般地情形也是如此,只不过此时期望的定义超出了黎曼积分的范围：EX=∫xdF(x).
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