已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求实数a的值．

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解题思路：先求导，利用导数求函数的单调性及极大值．

（1）f′（x）=a（x-2）2+2ax（x-2）

=a（x-2）（x-2+2x）=a（x-2）（3x-2）

∵a＞0，

∴当x≤

2

3或x≥2时，f′（x）≥0，

则f（x）在区间（-∞，[2/3]]，[2，+∞）上单调递增；

当[2/3≤x≤2时，f′（x）≤0，

则f（x）在区间[

2

3]，2]上单调递减．

即函数f（x）的单调增区间为（-∞，[2/3]]，[2，+∞），单调减区间为[[2/3]，2]．

（2）f极大值（x）=f（[2/3]）=a[2/3]（[2/3]-2）2=32，

解得a=27．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数求函数的单调性与极值的方法，是基础题．

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