塞瓦定理怎么证
2个回答

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点,

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截,

∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.

相关问题