梅涅劳斯定理和塞瓦定理及其逆定理的证明步骤

梅涅劳斯定理和塞瓦定理及其逆定理的证明步骤

老师教的不懂，最好具体一点，有图更好

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A、《塞瓦定理》：O为△ABC内任一点，AO延交BC于D，

BO延交AC于E，CO延交AB于F，则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，见图4。

证明：在△AOB中，OF分∠AOB，由《分角定理》→

AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO)，

同理，在△BOC，△COA中也有。∴

（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO) •（sin∠BOD/sin∠COD）•(BO/CO)

•（sin∠COE/sin∠AOE）•(CO/AO)=1(由对顶角相等)。

不添线，只列一式。

B、《梅涅劳斯定理》：△ABC被一直线内分AB于F，内分BC于D，外分AC于E，则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，见图5。

证明：连AD，在△ADB中，DF内分∠ADB，由《分角定理》→

AF/BF=（sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)；在△ACD中，DE外分∠ADC，同理→

CE/AE=（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)。∴

（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)•(BD/CD)•

（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)=1。（由对顶角相等，辅角相等）

只添一线，只列一式。

这种不添线（或只添一线）的证明方法，在数学史上属首创。

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