问一道高中数列题,有点难.求思路,到底怎么想
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(am+an)/((1+am)*(1+an))=(ap+aq)/((1+ap)*(1+aq))
(a1+an)/((1+a1)*(1+an))=(a2+a(n-1))/((1+a2)*(1+a(n-1)))
即(a+an)/((1+a)*(1+an))=(b+a(n-1))/((1+b)*(1+a(n-1)))
代入a=1/2,b=4/5
即(1/2+an)/((1+1/2)*(1+an))=(4/5+a(n-1))/((1+4/5)*(1+a(n-1)))
化简得
an=(2*a(n-1)+1)/(a(n-1)+2)
对于方程
x=(2x+1)/(x+2)
解得x=+/-1
故有
(an+1)/(an-1)=((2+1)/(2-1))*(a(n-1)+1)/(a(n-1)-1)=3*(a(n-1)+1)/(a(n-1)-1)
(a1+1)/(a1-1)=(1/2+1)/(1/2-1)=-3
(an+1)/(an-1)=-3^n
解得an=(3^n-1)/(3^n+1)
代入验证,满足题设条件
(2)
由题设(am+an)/((1+am)*(1+an))=(ap+aq)/((1+ap)*(1+aq))
记b(m+n)=(am+an)/((1+am)*(1+an))
b(n+1)=(a1+an)/((1+a1)*(1+an))==(a+an)/((1+a)*(1+an))
考察函数f(x)=(a+x)/((1+a)*(1+x)) (x>0)
在其定义域上有
f(x)>=g(a)
a>1时,g(a)=1/(1+a)
a=1时,g(a)=1/2
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