已知f(x)=logax的导函数是f′(x),记A=f′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f′(a+1),则将A、B、C按由大到小的顺序排列为______.
解题思路:利用导数的几何意义以及B的几何意义,利用数形结合的方法求解,注意分a>1,和0<a<1两种情况讨论.
由已知A=f′(a),C=f′(a+1),分别是函数f(x)=logax在x=a,x=a+1处的切线斜率,
B=f(a+1)-f(a)=
f(a+1)−f(a)
(a+1)−a是点(a,f(a))与(a+1,f(a+1))连线的斜率,
如图:自左向右,三条直线的斜率分别为A,B,C,其倾斜角皆为锐角,且从左向右依次减小,根据正切函数的单调性,则A>B>C;
同理,可作出当0<a<1时,函数图象及三条直线,类似的也可以得到A>B>C.
故答案为A>B>C
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;不等关系与不等式.
考点点评: 这道题主要是考查了导数的几何意义,画出图象直观的观察它们倾斜角的变化,进一步研究斜率的变化即可获得解答.
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