已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y），
1个回答
解题思路：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x1＜x2，判断f（x2）＞f（x1）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＞0，取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则
x
2
x
1
＞1
，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．
证：（1）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
x2
x1＞1
∴f(
x2
x1 )＞0f(x1)−f(x2)＝f(x1)−f(
x2
x1 • x1)＝f(x1)−f(
x2
x1 ) −f(x1)＝−f(
x2
x1 )＜0
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数 （5分）
（2）令x＝
1
2，y=1得，f(
1
2×1)＝f(
1
2)+f(1)⇒f(1)＝0
令x=2，y＝
1
2得，f(1)＝f(2×
1
2)＝f(2)+f(
1
2)⇒f(2)＝1
令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2
∴f(x)−f(
1
x−2)≥f(4)，f(x)≥f(
4
x−2)
因此，
x≥
4
x−2
x＞0
1
x−2＞0⇒x≥1+
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．
考点点评： 本题要掌握定义法证明单调性的前提是x1＜x2，判断f（x2），f（x1）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．
相关问题
