已知F(x)=x^3+3ax^2+bx+a^2(a>1)在x=-1时有极值0.问：方程f（x）=c在区间[-4,0]上有
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方程根的问题会设计函数的单调性.

对于三次函数的图象,应该熟悉掌握,本题中三次方系数为正,那函数应该是先增后减再增的.

解 F'(x)=3x^2+6ax+b

由题意,x=-1是F(x)有极值

则 F'(-1)=0即3-6a+b=0

F(-1)=0 -1+3a-b+a^2=0

又a>1

解得 a=2

b=9

所以F'(x)=3x^2+12x+9

令 F'(x)=0 解得x=-1,-3

当x∈【-4,-3】时,F'(x)≥0 F(x)单调增

当x∈【-3,-1】时,F'(x)≤0 F(x)单调减

当x∈【-3,-1】时,F'(x)≥0 F(x)单调增

所以,F(x)在x=-3时取极大值4

在x=-1时取极小值0

保证有三个根,只要c介于极小值和极大值之间即可(但不能相等）

所以,0＜c＜4

希望对你有所帮助

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