已知函数f(x)＝ax−x+b(x≠0)．，其中a，b∈R
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解题思路：（1）先求函数的导数，再由导数的几何意义和切线方程列方程f′（2）=3，再由切点在切线上和曲线上列方程，分别求出a和b；
（2）由解析式求出函数的定义域，根据导数的表达式对a进行分类：a≥0和a＜0，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成区间的形式．
（1）由题意得f′(x)＝−
a
x2−1=−
x2+a
x2，
∵在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（2）=−
4+a
4=3，且f（2）=7=[a/2−2+b，
解得，a=-16，b=17，
故函数f（x）的解析式：f(x)＝−
16
x−x+17(x≠0)，
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且f′(x)＝−
a
x2−1=−
x2+a
x2]，
当a≥0时，恒有f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，令f'（x）=0，解得x=±
a，
当x＞
a或x＜-
a时，f'（x）＜0；当-
a＜x＜
a且x≠0时，f'（x）＞0，
∴f（x）单调递减区间为（-∞，-
a），（
a，+∞），单调递增区间为（-
a，0），（0，
a），
综上得，当a≥0时，函数的f（x）的减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，减区间为（-∞，-
a），（
a，+∞），增区间为（-
a，0），0，
a）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了导数与函数的单调性关系，以及导数的几何意义、切点在曲线上和切线上的应用等，考查了分类讨论思想．
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