著名的恩施大峡谷和世界自然保护区星斗山位于笔直的泸 - 已解决

著名的恩施大峡谷和世界自然保护区星斗山位于笔直的泸渝高速公路X同侧,AB=50

恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世,著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案,图11（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直,垂足为P）,P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图11（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'',连接BA''交直线X于点P）,P到A、B的距离之和S2=PA+PB．

（1）求S1 、S2 ,并比较它们的大小．

（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小．

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1个回答

方案一 S1=PA+PB

根据题意得图（1）,以B点向直线X做垂线交于F,并以A点分别向直线X和BF做垂线交于P、C,则：PF=AC =√(AB²-BC²) =50²-(BF-FC)²=50²-30²=40=PF

S1=PA+PB

=10+√（PF²+BF²)

=10+√(40²+40²

=10+40√2

方案二 S2=PA+PB

据题意得图二,以B点向A'A延长线做垂线交于D

S2=PA+PB

=PA'+PB

=A'B=√(A'D²+DB²)

=50²+40²

=10√41

比较S1 和S2就比较容易了,看两个的差是否大于0即可知道.

（2）据题意（A关于直线X的对称点是A''）

可知A到直线X的距离等于A'到直线X的距离,

设AA'与直线X交点是E,即AE=A'E

那么S2=S2=PA+PB=PA'+PB=A'B

因为两点之间,线段最短的公理可得S2=PA+PB的值为最小.

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