已知在三角形ABC中角ACB=90度 BC=AC=1 AB=√2 AE垂直AB且BD=AE
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满足条件的点D是存在的,且有两种情况：
①当AD＝√2/2 时,△AEF是以AE为底边的等腰直角三角形；
②当AD＝1 时,△AEF是以EF为底边的等腰三角形.
一、证明：AE＞EF.
∵AC＝BC、∠ACB＝90°,∴∠BAC＝45°,又∠DAE＝90°,∴∠EAF＝45°.
由三角形外角定理,有：∠AFE＝∠BAC＋∠ADF＞∠BAC＝45°＞∠EAF,∴AE＞EF.
二、当AF＝EF时
∵AF＝EF,∴∠AED＝∠EAF＝45°,又∠DAE＝90°,∴∠ADE＝45°.
∵∠AED＝∠ADE,∴AE＝AD,又AE＝BD,∴AD＝BD,∴AD＝AB/2＝√2/2.
∴当AD＝√2/2 时,△AEF是以AE为底边的等腰直角三角形.
三、当AE＝AF时
∵AE＝AF,∴∠AEF＝∠AFE,又∠EAF＝45°,
∴∠AEF＝（180°－∠EAF）/2＝（180°－45°）/2.
∴tan∠AEF＝AD/AE＝tan［（180°－45°）/2］＝cot（45°/2）,又AE＝BD,
∴AD/BD＝cot（45°/2）＝（1＋cos45°）/sin45°＝（1＋1/√2）/（1/√2）＝√2＋1,
∴AD/（AB－AD）＝√2＋1, ∴AD/AB＝（√2＋1）/（√2＋2）,
∴AD＝［（√2＋1）/（√2＋2）］AB＝（1/√2）AB＝（1/√2）√2＝1.
∴当AD＝1 时,△AEF是以EF为底边的等腰三角形.
综上一、二、三所述,得：
满足条件的点D是存在的,且有两种情况：
①当AD＝√2/2 时,△AEF是以AE为底边的等腰直角三角形；
②当AD＝1 时,△AEF是以EF为底边的等腰三角形.
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