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抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题.解答此类问题时,要充分利用抛物线和面积的有关知识,重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离,得出相应的线段长或高,
例1.如图1,二次函数 的图像与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为（－1,0）.点C（0,5）、点D（1,8）在抛物线上,M为抛物线的顶点.
图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积.
（1）设抛物线的解析式为
,根据题意得
,解得
∴所求的抛物线的解析式为
（2）∵C点坐标为（0,5）,∴OC＝5
令 ,则 ,
解得
∴B点坐标为（5,0）,OB＝5
∵ ,
∴顶点M的坐标为（2,9）
过点M作MN⊥AB于点N,
则ON＝2,MN＝9
∴
例2.如图2,面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上,二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M.
图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴.
（2）在坐标轴上是否存一点P,使△PMA中PA＝PM,如果存在,写出P点的坐标,如果不存在,说明理由.
（1）∵等腰直角△OAB的面积为18,
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点,
∴
∴点A的坐标为（6,0）
点M的坐标为（3,3）
∵抛物线
∴ ,解得
∴解析式为 ,
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P,使△PAM中PA＝PM.
①P点在x轴上,且满足PA＝PM时,点P坐标为（3,0）.
②P点在y轴上,且满足PA＝PM时,点P坐标为（0,－3）.
例3.二次函数 的图像一部分如图3,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A（1,0）和点B（0,1）.
图3
（1）请判断实数a的取值范围,并说明理由.
（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c,当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时,求a的值.
（1）由图象可知：；图象过点（0,1）,所以c＝1；图象过点（1,0）,则 ；
当 时,应有 ,则
当 代入
得 ,即
所以,实数a的取值范围为 .
（2）此时函数 ,
要使
,
可求得 .
例4.如图4,在同一直角坐标系内,如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C（1,0）、D（4,0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7.
图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发,以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C）,过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q.当P从点D出发t秒后,求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式,并确定t的取值范围.
（1）∵点A、B在一次函数 的图象上,
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴
∴ .
（2）由F（0,4）,C（1,0）,D（4,0）得
（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴
即 .
