等腰直角三角形ACB,O为斜边AB的中点,点E、F分别在AC、BC上,且∠EOF=45°

等腰直角三角形ACB,O为斜边AB的中点,点E、F分别在AC、BC上,且∠EOF=45°

（1）点E、F在边AC、BC上时,指出CE、EF、BF存在怎样的数量关系

（2）点E在AC上,点F在BC的延长线上时,上述结论是否仍成立 并证明

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3个回答

答案：两种情况下的CE、EF、BF的数量关系都是：BF=CE+EF

(1) 证明：连CO,在BC上截取BK=CE,连OK

∵ △ACB是等腰直角三角形,O为斜边AB的中点

∴ CO=AB/2=BO ∠ECO=∠KBO=45°

∴ △ECO≡△KBO （SAS）

∴ ∠EOC=∠KOB OE=OK

又∵ ∠FOK=90°-（∠COF+∠KOB)=90°-（∠EOC+∠COF)=90°-∠EOF

∵ ∠EOF=45°

∴ ∠FOK=45°

在 △EOF和△KOF中 ∵OE=OK ;∠EOF=∠FOK; OC=OB

∴ △EOF≡△KOF （SAS）

∴ EF=KF

∴ BF=BK+KF=CE+EF

(2) 同理：连CO,在BC上截取BK=CE,连OK

易得：∴ △ECO≡△KBO（SAS)

∴ ∠EOC=∠KOB EO=KO

∵ ∠EOC=∠EOF=45°+∠COF

∴ ∠KOB= ∠EOC= 45°+∠COF

∴∠KOF=∠KOC+∠COF

又∵ ∠KOC= 90°-∠KOB=90°-（45°+∠COF）=45°-∠COF

∴∠KOF=∠KOC+∠COF=45°-∠COF+∠COF=45°

∴在 △EOF和△KOF中 ∵EO=KO ;∠EOF=∠KOF=45°; OF=OF

∴ △EOF≡△KOF （SAS）

∴ EF=KF

∴ BF=BK+KF=CE+EF

证毕!

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