已知过点(0,2)的直线与抛物线y 2 =4x交于不同的两点A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),计算 1
1个回答

若过(0,2)的直线斜率不存在或k=0,则直线与抛物线只有一个交点不满足要求;

若过(0,2)的直线斜率存在且不为0,则可设y=kx+2

又因为A,B两点是直线与抛物线y 2=4x的交点,则

y=kx+2

y 2 =4x

即 y 2 -

4

k y+

8

k =0

∴ y 1 + y 2 =

4

k ,且 y 1 • y 2 =

8

k

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2

因为A,B两点是直线与抛物线y 2=2px(p>0)的交点,则

y=kx+2

y 2 =2px

即 y 2 -

2p

k y+

4p

k =0

∴ y 1 + y 2 =

2p

k ,且 y 1 • y 2 =

4P

k

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 .

由此归纳推断:过(0,b)的直线与抛物线y 2=mx(m≠0)交于不同的两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

b .

故答案为:过(0,2)的直线与抛物线y 2=4x交与不同的两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 (1分)

过(0,2)的直线与抛物线y 2=2px(p>0)交与不同的两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

2 (1分)

过(0,b)(b≠0)的直线与抛物线y 2=mx(m≠0)交与不同的两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则

1

y 1 +

1

y 2 =

1

b (1分)