在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E,F分别为棱AD,PC中点.

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E,F分别为棱AD,PC中点.

1）求异面直线EF和PB所成的角的大小 （2）求证：平面PCE⊥平面PBC （3）求二面角E-PC-D的大小

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1、 应补充N是PD的中点的条件,截面ABMN是平行四边形,M是PC的中点,MN‖AB,且MN=AB,MN是三角形PDC的中位线,MN‖CD,且MN=CD/2,∴AB‖MN.

2、 AB⊥PA（已知）,AB⊥AD（已知）,PA∩AD=A,AB⊥平面PAD,AB‖CD,MN‖CD,MN‖AB,MN⊥平面PAD,AN∈平面PAD,∴MN⊥AN.

3、 PA=PD,三角形PAD是等腰直角三角形,N是PD的中点,AN⊥PD,又由前所述MN⊥AN,AN∩PD=N,AN⊥平面PDC,AN∈平面ABMN,∴平面ABMN⊥侧面PDC.

4、 设PA=AB=AD=a,V四棱锥P—ABCD=(a+2a)/2*a*a/3=a^3/2

四棱锥P—ABMN是由二三棱锥P-ANM和P-AMB组成,其体积=a^2/2*(1/2)*A*(1/3)*2=a^3/6

下半部体积为全部体积-上部体积=a^3/2-a^3/6=a^3/3

上、下两部分体积之比= （a^3/6）/ （a^3/3）=1：2

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