已知椭圆 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为2分之根号2d.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.
谈谈我对本题的看法,第一问跟楼上做法一样,
(1)由点F(-ae,0),点A(0,b)及 b=根号(1-e2)a得直线FA的方程为 x/-ae+y/根号(1-e2)a=1,即根号( 1-e2)x-ey+ae根号(1-e2)=0,(2分)
∵原点O到直线FA的距离为 根号2/2b=a/根号(1-e2/2),
∴ ae根号(1-e2)/根号(1-e2+e2)=a根号(1-e2)/2,e=根号2/2.(5分)
故椭圆C的离心率 e=根号2/2
还有你“原点O到直线FA的距离为2分之根号2d.”这句话是不是抄错了?应为2b?
(2)、通过题意可以推敲一下,
F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,
反过来试想,若P在圆O:x2+y2=4上,
则他关于直线2x+y=0(经过圆心)的对称点F必然也在圆上,
因为FP直线与l垂直,所以得知:k=1/2,带入c点解的直线方程,
联立2x+y=0求出交点坐标,根据坐标中点公式即求得P点坐标.
因此得出F点坐标(-2,0),
因为已求得:c=2,e=c/a=√2/2,于是可求得a、b值,解得椭圆方程.
当然,一楼很准确了.就是计算有点小复杂,我这只是另一种分析,不算废话吧?
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