设函数f(x)＝alnx−12x2+bx．

设函数

f(x)＝alnx−

1

2

x

2

+bx

．

（1）当

a＝3，b＝

1

2

时，求f（x）的最大值；

（2）求不等式f′（x）＞f（1）的解集．

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1个回答

解题思路：（1）先把已知条件代入原函数并求出其导函数，利用其导函数得到其在定义域上的单调性即可求出f（x）的最大值；

（2）因为不等式

f′(x)＞f(1)⇔

a

x

−x+b＞−

1

2

+b

，又可转化为2x2-x-2a＜0，再利用一元二次不等式的解法解不等式即可得不等式f′（x）＞f（1）的解集．

（1）当a=3，b=[1/2]时，f（x）=3lnx-[1/2]x2+[1/2]x（x＞0）

f′(x)＝

3

x−x+

1

2＝

−(x−2)(2x+3)

2x

∵x＞0

∴当0＜x＜2时，f'（x）＞0，即f（x）递增

当x＞2时，f'（x）＜0，即f（x）递减．

∴当x=2时，f（x）max=-1+3ln2

（2）不等式f′(x)＞f(1)⇔

a

x−x+b＞−

1

2+b ①

∵x＞0，∴不等式①化为2x2-x-2a＜0

∵△=1+16a

∴当△≤0，即a≤−

1

16时，不等式解集为φ

当△＞0，即a＞−

1

16时，解集为(

1−

1+16a

4，

1+

1+16a

4)

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；其他不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及一元二次不等式的解法，是对知识的综合考查，属于中档题目．

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