已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y= k x （
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作DH⊥x轴于H，BG⊥x轴于G，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴菱形OABC的面积=
1
2 OB•AC=
1
2 ×160=80，所以①正确；
∴
1
2 DH•OA=菱形OABC的面积的
1
4 =
1
4 ×80，
而A点的坐标为（10，0），
∴
1
2 DH×10=
1
4 ×80，
∴DH=4，
∵OB与AC互相垂直平分，
∴∠ADO=90°，DH为△OBG的中位线，
∴BG=2DH=8，
∴E点的纵坐标为8，
∵∠DOH+∠ODH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠DOH=∠ADH，
∴Rt△DOH ∽ Rt△ADH，
∴DH：AH=OH：DH，即DH 2=OH•AH，
∵DH=4，AH=OA-OH=10-OH，
∴OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），
∴D点坐标为（8，4），
把D（8，4）代入y=
k
x 得k=4×8=32，
∴反比例函数解析式为y=
32
x ，所以③错误；
把y=8代入得
32
x =8，解得x=4，
∴E点坐标为（4，8），所以②正确；
CM⊥x轴于M，如图，
∴CM=BG=8，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCM中，CM=8，OC=10，
∴OM=
O C 2 -C M 2 =6，
∴sin∠COM=
CM
OC =
8
10 =
4
5 ，
即sin∠COA=
4
5 ，所以④正确．
故选C．
1年前
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