命题 在ΔABC中,各边不相等,O,I,H,Q分别为外心,内心,垂心与九点圆心,如果三角形ABC三个内角成等差数列.求证:IQ⊥OH.
证明 因为三角形ABC三个内角成等差数列,所以有一角必为π/3.记A=π/3,R为外接圆半径.则AH=2RcosA=R=AO,又因为AI平分∠OAH,所以ΔAHI≌ΔAOI,即IH=IO.由于九点圆心在欧拉线OH上且平分线段OH.因此AI⊥OH.证毕.
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