解题思路：（Ⅰ）将
a
n
＝(
3
2
)
n
(n∈
N
+
)
代入ak+1+ak-1-2ak判定符号，从而确定数列{an}是否是凸数列；
（Ⅱ） （i）由ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）得ak+1-ak≥ak-ak-1，从而am-an≥（m-n）（an+1-an）则
a
m
−
a
n
m−n
≥
a
n+1
−
a
n
，同理可得an-ak≤（n-k）（an+1-an）即
a
n
−
a
k
n−k
≤
a
n+1
−
a
n
，从而证得结论；
（ii）由
a
m
−
a
n
m−n
≥
a
n
−
a
k
n−k
得（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an①，先证
{
S
n
n
}
是凸数列，由①得可得结论．
（Ⅰ）∵ak+1+ak−1−2ak＝(
3
2)k+1+(
3
2)k−1−2(
3
2)k＝
1
4(
3
2)k−1＞0，
∴数列an＝(
3
2)n(n∈N+)是凸数列．
证明（Ⅱ） （i）由ak-1+ak+1≥2ak（k=2，3，…）得
ak+1-ak≥ak-ak-1am-an=（am-am-1）+（am-1-am-2）+…+（an+1-an）≥（m-n）（an+1-an）
⇒
am−an
m−n≥an+1−an，an-ak=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（ak+1-ak）≤（n-k）（an-an-1）≤（n-k）（an+1-an）
⇒
an−ak
n−k≤an+1−an，故
am−an
m−n≥
an−ak
n−k]．
（ii）由
am−an
m−n≥
an−ak
n−k得（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an．①
故先证{
Sn
n}是凸数列．
在（m-n）ak+（n-k）am≥（m-k）an中令m=n+1得ak+（n-k）an+1≥（n+1-k）an，令k=1，2，…，n-1，（n≥2）叠加得Sn−1+
1
2n(n−1)an+1≥
1
2(n+2)(n−1)an，⇒2Sn-1+n（n-1）（Sn+1-Sn）≥（n+2）（n-1）（Sn-Sn-1）
⇒n(n+1)Sn−1+n(n−1)Sn+1≥2(n2−1)Sn
⇒
S
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性．
考点点评： 本题主要考查了数列与不等式的综合，以及新定义和数列的函数特性，同时考查了计算能力，属于难题．
