如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.
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作AH⊥BC交BC于H,不妨设点H在B,D之间,由BD=CD知CD*HD-HD*BD=0,

所以BD^2-BD*HD+HD*CD+CD^2=BD^2+CD^2,即得

BD(BD-HD)+CD(CD+HD)=BD^2+CD^2,即得

BD*BH+CD*CH=BD^2+CD^2 由AH⊥BD,DE⊥AB,DF⊥AC

可知 △BDE∽△BAH,△CDF∽△CAH,所以可得

BD*BH=BE*BA,CD*CH=CF*CA 带入上式即得

BE*BA+CF*CA=BD^2+CD^2,而BD^2=BE^2+DE^2,CD^2=CF^2+DF^2 带入得

BE*(BA-BE)+CF*(CA-CF)=DE^2+DF^2,即BE*AE+CF*AF=DE^2+DF^2

再由DE^2=AD^2-AE^2,DF^2=AD^2-AF^2,继续带入得

(BE+AE)*AE+(CF+AF)*AF=2AD^2,即证2AD^2=AE*AB+AF*AC

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