如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，cosA=[4/5]．
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解题思路：（1）设AC=4x，则AB=5x，根据勾股定理求得BC=3x，根据BC=3，求得x=1，从而求得AC、AB的长度；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠A=∠PCA，根据圆周角的性质得出∠ACP=∠PBM，进而得出∠A=∠ABM，得出三角形AMB是等腰三角形，由直径所对的圆周角是直角得出MP⊥AB，从而求得AP=PB=[5/2]，然后根据三角形相似求得AM的长，进而求得CM的长；
（1）在△ABC中，∵∠C=90°，
∴cosA=[AC/AB]=[4/5]．
设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理，得BC=
AB2−AC2=3x，
∵BC=3，∴3x=3，∴x=1，
∴AC=4x=4，AB=5x=5；
（2）存在；
如图，∵△APC是等于三角形，
∴AP=PC，
∴∠A=∠PCA，
∵∠ACP=∠PBM，
∴∠A=∠ABM，
∴AM=BM，
∵BM是直径，
∴MP⊥AB，
∴AP=PB=[1/2]AB=[5/2]，
∵∠APM=∠ACB=90°，∠PAM=∠CAB，
∴△APM∽△ACB，
∴AM：AB=AP：AC，
即[AM/5]=
5
2
4，
∴AM=[25/8]，
∴CM=AC-AM=4-[25/8]=[7/8]；
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了直角三角函数的应用、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质等，熟练掌握圆的应该性质是本题的关键．
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