正方形ABCD内接于圆内,P是劣弧CD上一动点,PA与BD交于点M,PB与AC交于点N,设∠MAN为α,求当AM⊥MN时
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以OC,OD为x,y轴建立直角坐标系,易知∠COP=2∠MAN=2a,设AO=OC=1,则P(cos2a,sin2a),A(-1,0),

AP:y=(x+1)sin2a/(cos2a+1)交y轴于M(0,sin2a/(cos2a+1)),

B(0,-1),BP:y=x(sin2a+1)/cos2a-1交x轴于N(cos2a/(sin2a+1),0),

当AM⊥MN时,sin2a/(cos2a+1)*{-sin2a(sin2a+1)/[cos2a(cos2a+1)]}=-1,

∴(sin2a)^2*(sin2a+1)/[cos2a(cos2a+1)^2]=1,

sin2a=2sinacosa,sin2a+1=(cosa+sina)^2,cos2a=(cosa+sina)(cosa-sina),cos2a+1=2(cosa)^2,

∴(sina)^2*(cosa+sina)/[(cosa-sina)(cosa)^2]=1,

分子分母都除以(cosa)^3,去分母得(tana)^2*(1+tana)=1-tana,

整理得(tana)^3+(tana)^2+tana-1=0,

∴1+(tana)^2=2-tana-(tana)^3,

∴2(cosα)^2-tanα=2/[1+(tana)^2]-tana=[2-tana-(tana)^3]/[1+(tana)^2]=1.

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