△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N - 已解决

△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于

△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？

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解题思路：先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．

证法一．

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB和△BNC中

AB＝BC

∠ABC＝∠C

BM＝CN，

△AMB≌△BNC（SAS），

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，

∠MAN=∠BAC-∠MAB=60°-∠MAB，

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），

∴∠ANB+∠MAN=120°，

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，

∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAN，

∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN），

=180°-120°=60°，

∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．

证法二．

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC

在△AMB和△BNC中

AB＝BC

∠ABM＝∠BCN

BM＝CN

∴△AMB≌△BNC（SAS）

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC

∠MAN=∠BAC-∠MAB

又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）

∴∠ANB+∠MAN=120°

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°

∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAB

∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN）

=180°-120°=60°

点评：

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．

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