错位相减法 给几道例题和对应解法,说明一下用发
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举例　　例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

两式相减得(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；

化简得Sn=1/1-x+(2x-2x^n)/(1-x)^2-(2n-1)*x^n/1-x

错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.

这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）

在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）

用（1）—（2）,得到等式（3）如下：

（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了.

例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）

当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;;

当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方

所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方

所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.

化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方

Cn=(2n+1)*2^n

Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

两式相减得

-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)

=(1-2n)*2^(n+1)-2

所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

错位相减法

这个在求等比数列求和公式时就用了

Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

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