20.（本小题满分8分）如图， AB 是⊙ O 的直径， PA ⊥⊙ O 所在的平面， C 是圆上一点，∠ ABC =
1个回答
(1)证明：∵ AB 是直径 ∴∠ ACB = 90°，即 BC ⊥ AC
∴ PA ⊥ BC
∴ BC ⊥平面 PAC 又 BC
平面 PBC
∴平面 PBC ⊥平面 PAC
（2）∵ PA ⊥平面 ABC
∴直线 PC 与平面 ABC 所成角即∠ PCA
设 AC = 1，∵∠ ABC = 30°∴ PA = AB = 2
∴tan∠ PCA = = 2
(3) 在平面 PAC 中作 AD ⊥ PC 于 D ，在平面 PAB 中作 AE ⊥ PB 于连结 DE
∵平面 PAC ⊥平面 PBC ，平面 PAC ∩平面 PBC = PC ， AD ⊥ PC
∴ AD ⊥平面 PBC
∴ AD ⊥ PB
又∵ PB ⊥ AE ∴ PB ⊥面 AED
∴ PB ⊥ ED
∴∠ DEA 即为二面角 A — PB — C 的平面角
在直角三角形 PAC 中和直角三角形 PAB 中，
分别由等面积方法求得
AD = AE =
∴在直角三角形 ADE 中可求得：sin∠ DEA =
即二面角 A — PB — C 的正弦值为.
略
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