解题思路：（1）由f（x）=-x（x-a）2，知f'（x）=-3x2+4ax-a2，令f'（x）=0，解得
x＝
a
3]或x=a．列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由a＞3，得
a
3
＞1
，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），只要cos2x-cosx≤k2-k对一切k∈[-1，0]恒成立．由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）恒成立的x取值范围．
（1）∵f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，
∴f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得x＝
a
3或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x (−∞，
a
3) [a/3] (
a
3，a) a （a，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -…（6分）
因此，函数f（x）在x＝
a
3处取得极小值f(
a
3)，且f(
a
3)＝−
4
27a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得[a/3＞1，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），
只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R），
即cos2x-cosx≤k2-k对一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k2-k，当k∈[-1，0]，
g（k）min=0，
∴cos2x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即2kπ−
π
2≤x≤2kπ+
π
2，k∈Z…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查求函数f（x）的极大值和极小值，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）恒成立的x取值范围．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
1年前
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