求y=x^1/y的二阶导数
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半晌没人做,我再帮帮你.
这个题既是隐函数又是幂指函数,做起来稍微麻烦点.幂指函数求导方法上经常用“对数求导法”,不过这里我用公式做.
一般的,幂指函数的导数是这样的：
[f(x)^g(x)]'=f(x)^g(x)*lnf(x)*g'(x)+g(x)*f(x)^[g(x)-1]*f'(x)
也就是说幂指函数的导数是两项之和,一项是把它看做指数函数求导,另一项是把它当做幂函数求导.
下面用这个公式求本题的一阶导数：
y'=(x^1/y)'
=x^(1/y)*lnx*(1/y)'+(1/y)*x^(1/y-1)
=y*lnx*(-y'/y^2)+x^(1/y)/(xy)
=-y'lnx/y+1/x
从而
y'(1+lnx/y)=1/x
y'=y/[x(lnx+y)]
y''={y'*[x(lnx+y)]-y*[x(lnx+y)]'}/[x(lnx+y)]^2
={y-y*[lnx+y+1+xy')]}/[x(lnx+y)]^2
=-y*[lnx+y+y/(lnx+y)]/[x(lnx+y)]^2
=-y*[(lnx+y)^2+y]/[x^2(lnx+y)^3]
