如图，五边形ABCDE是正五边形，有一点P，满足两 - 已解决

如图，五边形ABCDE是正五边形，有一点P，满足两个条件：△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形，则以下四个

如图，五边形ABCDE是正五边形，有一点P，满足两个条件：△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形，则以下四个命题正确的是______．

①当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有三个；

②当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合；

③当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个；

④在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有五个．

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解题思路：作直线BE，则求出B、E到CD的距离相等，根据三角形面积公式求出P和E重合时符合；作直线GH∥BE，且到直线CD的距离等于BM，作AB的垂直平分线，即可得出符合的两个点，当AB为腰时，求出符合的一个点，即可判断各个答案．

过B作BM⊥CD于M，过E作EN⊥CD于N，

则∠BMC=∠END=90°，BM∥EN，

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴BC=FD，AB=AE，∠BCD=∠FDC，

∵∠BCM+∠BCD=180°，∠FDC+∠FDN=180°，

∴∠BCM=∠FDN，

在△BMC和△FND中

∠BCM＝∠EDN

∠BMC＝∠FND

BC＝ED

∴△BMC≌△END，

∴BM=EN，

∵BM∥EN，

∴四边形BMNE是平行四边形，

∴BM=EN，

即△BCD面积和△ECD面积相等，

∴当P和E重合时，符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；

作直线GH∥CD，且直线CD和直线GH之间的距离是BM，作线段AB的垂直平分线交BE于P₂，交GH于P₃，此时的两点符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；

以B为圆心，以AB为半径作弧，交BE于P₄，此时符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；

∴当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有二个，如有P₂，P₄，∴①错误；

当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合，∴②正确；

当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P有2个，如有P₃，另一个是在EB的延长线上，即BP₅=BA，∴③错误；

在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有4+1=5个，∴④正确；

故答案为：②④．

点评：

本题考点：正多边形和圆．

考点点评：本题考查了正多边形的性质，全等三角形性质，三角形的面积，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有点是解此题的关键．

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