已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
解题思路:(1)求出导函数f′(x)=[1/x]-a,并且解出它的零点x=[1/a],再分区间(0,[1/a])和([1/a],+∞)上讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;
(2)分a≥1、0<a≤[1/2]和[1/2]<a<1三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.
(1)函数f(x)的定义域 为(0,+∞).
f′(x)=[1/x]-a=[1−ax/x](2分)
因为a>0,令f′(x)=[1/x]-a=0,可得x=[1/a];
当0<x<[1/a]时,f′(x)=[1−ax/x]>0;当x>[1/a]时,f′(x)=[1−ax/x]<0,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,[1/a]),单调递减区间为([1/a],+∞).(4分)
(2)①当0<[1/a]≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当[1/a]≥2,即0<a≤[1/2]时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<[1/a]<2,即[1/2]<a<1时,函数f(x)在(1,[1/a])上是增函数,在([1/a],2)上是减函数.
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当[1/2]<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=-a;
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题给出含有对数的函数,讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最小值,着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上最值求法等知识,属于中档题.
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