解题思路：（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=1-x，于是NC=BC-BN=[1/3]+x，再由折叠的性质得到NC′=NC=[1/3]+x，然后在Rt△BNC′中利用勾股定理列出方程（[1/3]+x）2=x2+（1-x）2，解方程即可；
（2）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=AB-BC′=1-x，验算NC=BC-BN=x，再由折叠的性质得到NC′=NC=x，然后在Rt△BNC′中根据斜边最长得出NC′＞BC′，这与NC′=BC′=x矛盾，于是得出结论：如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．
（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=[4/3]-（1-x）=[1/3]+x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=[1/3]+x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′2=BC′2+BN2，
∴（[1/3]+x）2=x2+（1-x）2，
解得x=
4±2
2
3，
∵
4+2
2
3＞2＞AB，
∴x=
4+2
2
3不合题意舍去，
∴x=
4−2
2
3，
即当点C′在AB上距离点B
4−2
2
3个单位时，可使△NBC′≌△C′AE；
（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．理由如下：
设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′＞BC′，
而NC′=BC′=x，
∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．
点评：
本题考点： 翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了直角三角形的性质及一元二次方程的解法．
