【必要性】：若定义在R上的奇函数f(x)能表示为一个周期函数与一个一次函数之和,
即f(-x)=-f(x),且f(x)=g(x)+ax+b,
设g(x)有最小正周期T,
则f(x+T)=g(x+T)+a(x+T)+b=g(x)+ax+aT+b
f(-x+T)= g(-x+T)+a(-x+T)+b=g(-x)-ax+aT+b= -g(x)-ax+aT+b
因为[(-x+T)+(x+T)]/2=T,{[-g(x)-ax+aT+b]+[ g(x)+ax+aT+b]}/2= aT+b,
因为T≠0,即这时f(x)有异于原点的对称中心P(T,aT+b)；
【充分性】：若f(x)有异于原点的对称中心P(m,n),mn≠0,
则有[f(m+x)+f(m-x)]/2=n,
令g(x)=f(x)-nx/m,
因为f(x)是奇函数,所以
g(-x)=f(-x)+nx/m
g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)+0=0,即g(x)也是奇函数,
又g(x+m)=f(x+m)-n(x+m)/m= f(x+m)-nx/m-n
g(-x+m)=f(-x+m)+nx/m-n
g(x+m)+g(-x+m)=f(x+m)+f(-x+m)-nx/m+nx/m-2n=2n+0-2n=0
所以g(-x+m)=-g(x+m)
又g(x)也是奇函数,所以g(-x+m)=-g[-(-x+m)]=-g(x-m)
所以-g(x-m) =-g(x+m),即g(x-m) =g(x+m),所以g(x+2m)=g(x),
所以g(x)是以2m为周期的周期函数,
所以f(x)可表为一个以2m为周期的周期函数g(x)和一个一次函数h(x)=nx/m之和,其中(m,n)为f(x)异于原点的对称中心.
所以,定义在R上的奇函数f(x)能表示为一个周期函数与一个一次函数之和的充要条件是f(x)有异于原点的对称中心.
【这种问题有点函数方程的味道（更难）,高考是绝对不予考虑的,同学们不必在此纠结!】
