解题思路：（1）对于①，考察证明f（-x）与f（x）的关系得证；对于②针对函数
f(x)＝
sinx
x]的性质，只须考虑当0＜x＜[π/2]时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x．对于③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
（2）分别令n=1，2，3，4，5，…，9．求出
f(
nπ
6
)，f(
nπ
6
+
π
6
)
函数值，再比较大小即可得出答案．
（1）证明：函数f(x)＝
sinx
x的定义域为x≠0，
当x≠0时，f(−x)＝
sin(−x)
−x=[−sinx/−x＝
sinx
x]=f（x），
∴f（x）是偶函数；①正确；
对于②，针对函数f(x)＝
sinx
x的性质，只须考虑当0＜x＜[π/2]时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，
设
AN的长为l，则x＝
l
r＝l，
∴[1/2ON•MA＜
1
2ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)＝
sinx
x＜1，②正确；
f′(x)＝
(sinx)′x−sinx•x′
x2]=[xcosx−sinx
x2
令
xcosx−sinx
x2=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但当x＝
3/2π时，不满足tanx=x，
故当x＝
3
2π时，f（x）取不到极小值，故③错．
故答案为：①②．
（2）当n=1时，
nπ
6＝
π
6]，[nπ/6+
π
6＝
π
3]，不满足f(
nπ
6)＜f(
nπ
6+
π
6)；
当n=2时，[nπ/6＝
π
3]，[nπ/6+
π
6＝
π
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
1年前
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