已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x - 已解决

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．

2个回答

解题思路：（1）根据二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x，可求f（1）=1，f（-1）=3，从而可求函数f（x）的解析式；

（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，等价于x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．

（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x，

∴f（1）-f（0）=0，

∴f（1）=f（0）

∵f（0）=1

∴f（1）=1，

∴二次函数图象的对称轴为x=

2．

∴可令二次函数的解析式为f（x）=y=a(x-

2)2+h．

令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x，

∴f（0）-f（-1）=-2

∵f（0）=1

∴f（-1）=3，

∴

4a+h=1

4a+h=3

∴a=1，h=

∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-

2)2+

4=x2-x+1

（2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方

∴x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立

∴x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立

令g（x）=x²-3x+1，则g（x）=（x-[3/2]）²-[5/4]

∴g（x）=x²-3x+1在[-1，1]上单调递减

∴g（x）_min=g（1）=-1，

∴m＜-1

点评：

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用；函数恒成立问题．

考点点评：本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化为x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．