进位制是什么意思讲一下 数学
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进制

进制也就是进位制,是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制---X进制,就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一,十六进制是逢十六进一,二进制就是逢二进一,以此类推,x进制就是逢x进位。

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概念

进位制/位置计数法是一种记数方式,故亦称进位记数法/位值计数法,可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数(en:radix)或底数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57(10),可以用二进制表示为111001(2),也可以用五进制表示为212(5),也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16),它们所代表的数值都是一样的。

数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。计算机是信息处理的工具,任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理,存储和传输。

位权概念

对于形式化的进制表示,我们可以从0开始,对数字的各个数位进行编号,即个位起往左依次为编号0,1,2,……;对称的,从小数点后的数位则是-1,-2,……

进行进制转换时,我们不妨设源进制(转换前所用进制)的基为R1,目标进制(转换后所用进制)的基为R2,原数值的表示按数位为AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……,R1在R2中的表示为R,则有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2

(由于此处不可选择字体,说明如下:An,A2,A-1等符号中,n,2,-1等均应改为下标,而上标的幂次均用^作为前缀)

举例:

一个十进制数110,其中百位上的1表示1个10^2,既100,十位的1表示1个10^1,即10,个位的0表示0个10^0,即0。

一个二进制数110,其中高位的1表示1个2^2,即4,低位的1表示1个2^1,即2,最低位的0表示0个2^0,即0。

一个十六进制数110,其中高位的1表示1个16^2,即256,低位的1表示1个16^1,即16,最低位的0表示0个16^0,即0。

可见,在数制中,各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关,还与该数字所在的位置有关,我们称这关系为数的位权。

十进制数的位权是以10为底的幂,二进制数的位权是以2为底的幂,十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低,以降幂的方式排列。

进数转换

1.二进制数、十六进制数转换为十进制数(按权求和)

二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数(或十六进制数)按位权形式展开多项式和的形式,求其最后的和,就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.

例如:把(1001.01)2 二进制计算。

(1001.01)2

=8*1+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)

=8+0+0+1+0+0.25

=9.25

把(38A.11)16转换为十进制数

(38A.11)16

=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

2.十进制数转换为二进制数,十六进制数(除2/16取余法)

整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法.

例:将25转换为二进制数

25÷2=12 余数1

12÷2=6 余数0

同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.

例:将25转换为十六进制数

25÷16=1 余数9

1÷16=0 余数1

所以25=(19)16

3.二进制数与十六进制数之间的转换

由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的.

(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位.

例:将(4AF8B)16转换为二进制数.

4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4

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