设空间闭区域Ω由曲面z=a2-x2-y2与平面z=0所围成，Σ为Ω的表面外侧，V为Ω的体积．证明：∯Σx2yz2dydz
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解题思路：将左边的第二类曲面积分转化为三重积分，然后将积分立体区域转化为球面坐标的形式计算三重积分即可证明．

证明：由高斯公式，有

左边积分=

∭

Ω(2xyz2−2xyz2+1+2xyz)dxdydz＝V+2

∭

Ωxyzdxdydz

∵

∭

Ωxyzdxdydz＝

∫2π0sinθcosθdθ

∫a0r3dr

∫a2−r20zdz＝

1

2sin2θ

|2π0⋅

∫a0r3dr

∫a2−r20zdz＝0

∴左边积分=V=右边．

点评：

本题考点： 用高斯公式计算曲面积分．

考点点评： 此题在计算三重积分的时候，也可以用对称性，即：由于Ω关于xoz面对称，又f（x，y，z）=xyz是Ω上关于y的奇函数，故∭Ωxyzdxdydz＝0．

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