如图，三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一点，F、G分别
1个回答
解题思路：由AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE，知平面ABE⊥平面BCD；由F、G分别是AC、BC的中点，知FG∥平面ABD，由E是棱CD上的任意一点，知FE和FG都不平行于平面ABD，故平面EFG和平面ABD不平行；点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大，由此能求出四面体FECG的体积最大值．
∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCD，故①正确；
∵F、G分别是AC、BC的中点，
∴FG∥AB，
∵FG⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
∴FG∥平面ABD，
∵E是棱CD上的任意一点，
∴FE和FG都不平行于平面ABD，
故平面EFG和平面ABD不平行，即②错误．
∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FG∥AB，且FG=[1/2]AB，
∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，
∴点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大．
∵三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2
∴S△DCG=S△BCD-S△BDG=[1/2×2×2-
1
2×1×2=1，
∴四面体FECG的体积最大值V=
1
3×1×1=
1
3]，故③正确．
故选C．
点评：
本题考点： 平面与平面之间的位置关系；复合命题的真假；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题考查平面与平面垂直、平面与平面平行的判断和证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．
相关问题
