如图,设△ABC中,∠ABC和∠ACB的内角平分线交于D,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于E,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于F,则有下列关系成立：
①∠BDC＝90＋∠A
②∠E＝∠A/2
③∠F＝90－∠A/2
证明过程如下：
1、
因为BD平分∠ABC,
所以∠DBC＝∠ABC/2
同理∠DCB＝∠ACB/2
因为∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB
＝180－(∠ABC＋∠ACB)/2
又因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
所以∠BDC＝180°－(180°－∠A)/2
即∠BDC＝90°＋∠A/2
2、
如图,根据“三角形任一外角等于不相邻的两个内角的和”得：
∠E＋∠EBC＝∠ECG
所以∠E＝∠ECG－∠EBC
同理∠A＝∠ACG－∠ABC
因为∠EBC＝∠ABC/2,∠ECG＝∠ACG/2
所以∠E＝∠ACG/2－∠ABC/2
＝(∠ACG－∠ABC)/2
＝∠A/2
3、
如图,根据三角形内角和性质得：
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)
因为BF、CF为∠ABC,∠ACB的外角∠MBC和∠NCB的平分线
所以∠MBF＝∠CBF＝∠CBM/2
∠BCF＝NCF＝∠BCN/2
所以∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)
＝180°－(∠CBM/2＋∠BCN/2)
＝180°－(∠CBM＋∠BCN)/2
因为∠CBM＝180°－∠ABC,∠BCN＝180°－∠ACB
所以∠BFC＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)/2
＝(∠ABC＋∠ACB)/2
＝(180°－∠A)/2
即∠F＝90°－∠A/2
另外,第三个结论也可以用第一个结论进行推导
思路如下：
先根据角平分线的条件证明∠DBF＝∠DCF＝90°
再根据四边形内角和等于360°得：
∠BDC＋∠F＝180°
而∠BDC＝90°＋∠A/2
所以∠F＝90°－∠A/2
当然,先证明第三个结论,再用上面的方法也可以证出第一个结论
