证明R²与R之间,不存在连续双射.
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首先要明确,你这样的叙述方法是不好的,双射的连续性不是自反的,不适合用“之间”这样方向不明确的讲法.虽然确实有不少人这样叙述,但很容易产生歧义,所以要尽量避免这种叙述.
你的叙述有以下三种解释方式
(1).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}中至少一个连续
(2).不存在f:R^2->R满足f是双射且连续
(3).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}都连续（即R^2和R不同胚）
直接按字面翻译应该是(1),但习惯上会解释成(2),当然我也不排除你想问的是(3).根据命题的强弱而言(1)=>(2)=>(3),证明(1)就够了.
先证明(2),如果f是R^2->R的双射且连续,那么记X=f^{-1}(0),Y=f^{-1}(1),Z=f^{-1}(2),取从X到Z且不通过Y的曲线C,那么必有f(C)=[0,2],矛盾.
然后证明(1)的另一半,如果f是R->R^2的双射且连续,考察闭区间[a,b]在f下的像f([a,b]),f([a,b])一定是不自交的曲线,容易验证[a,b]和f([a,b])同胚,于是f([a,b])是R^2上的零测度集.另一方面R^2是所有f([n,n+1])的并,矛盾.
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