解题思路：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．
（2）根据美好函数的定义能够证明函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）根据美好函数的定义能够证明函数h（x）=xa（a∈（0，1），x∈[0，1]是否同时适合①②③即可．
（4）利用反证法证明：若f（x0）＞x0，则由题设知f（x0）-x0∈[0，1]，且由①知f[f（x0）-x0]≥0，由此入手能证明f（x0）=x0．
（1）令x1=x2=0，则有f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，即f（0）≥0，故f（0）=0；∴（1）正确．
（2）g（x）是美好函数．证明如下：
①对任意的x∈[0，1]，总有g（x）≥0；
②g（1）=2-1=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则：f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=（2x1−1）（2x2−1）≥0，
即：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，
故g（x）为美好函数．∴（2）错误．
（3）①对任意的x∈[0，1]，总有h（x）=xa≥0；
②h（1）=1；
③当x1=[1/2]，x2=[1/2]时，满足x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
则f（x1+x2）=f（1）=1，
f（x1）+f（x2）=f（[1/2]）+f（[1/2]）=2f（[1/2]）=2×(
1
2)
1
2=2
1
2=2×
2
2＝
2＞1，
即：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）不成立，
故h（x）不满足条件③，∴h（x）=xa不是美好函数．∴（3）错误．
（4）若f（x）为美好函数，由原条件①③得到：f（x）为增函数，
假设f（x0）≠x0，不妨设f（x0）＞x0，
则：f（f（x0））＞f（x0）＞x0，矛盾．
当f（x0）＞x0时，同样得出矛盾．
故：对题设的x0，有f（x0）=x0成立，∴（4）正确．
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题主要考查与函数有关的新定义题，利用条件分别判断是解决本题的关键，要求正确理解美好函数的定义，考查学生的分析问题的能力．
