四面体ABCD中AD⊥BC AD=6 BC=2 AB+BD=AC+CD=7求四面体ABCD体积最大值
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作AE⊥平面BCD于E,设DE交BC于H,连AH.

AD⊥BC ,

∴DH⊥BC,

∴BC⊥平面ADH.

AB+BD=AC+CD=7,

可用反证法证得BH=HC,BC=2,

∴BH=1,设AB=x,则BD=7-x,AH=√(x^2-1),DH=√[(7-x)^2-1]=√(x^2-14x+48),

在△ADH中,设它的面积为S,∠AHD=θ,由余弦定理,

x^2-1+x^2-14x+48-36=2x^2-14x+11=2AH*DH*cosθ,①

由面积公式,4S=2AH*DH*sinθ,②

①^2+②^2,(2x^2-14x+11)^2+16S^2=4(x^2-1)(x^2-14x+48),

∴4S^2=-13(x^2-7x+6),

x=7/2时4S^2取最大值25*13/4,

∴S的最大值=5√13/4,

∴四面体ABCD的体积最大值=（2/3）S最大值=5√13/6.

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