伟达定理的应用
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AX2+BX+C=0

X1和X2为方程的两个跟

则X1+X2=-B/A

X1*X2=C/A

韦达定理应用中的一个技巧

在解有关一元二次方程整数根问题时,若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来,往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下．

例1 已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2．由韦达定理,得

x1＋x2＝－p,x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,

即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－1、x2－1均为整数,

解得x1＝2,x2＝200；x1＝－198,x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数,求m的值．

设方程的两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11,

即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数,

解得x1＝1,x2＝5；x1＝2,x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

若k＝0,得x＝1,即k＝0符合要求．

若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1、x2,由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2,

(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－1、x2－1均为整数,所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α＞1＞β,求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p,αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ,

＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

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