解题思路：（1）在2Sn=an+1-2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差数列，从而可求得a1；
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，
2
S
n+1
＝
a
n+2
−
2
n+2
+1
得an+2=3an+1+2n+1①，an+1=3an+2n②，由①②可知{an+2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求an；
（3）（法一），由an=3n-2n=（3-2）（3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1）≥3n-1可得
1
a
n
≤
1
3
n−1
，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；
（法二）由an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an可得，
1
a
n+1
＜
1/2]•[1
a
n
，于是当n≥2时，
1
a
3
＜
1/2]•[1
a
2
，
1
a
4
＜
1/2]•[1
a
3
，
1
a
5
＜
1/2
•
1
a
4
]，…，[1
a
n
＜
1/2]•[1
a
n−1
，累乘得：
1
a
n
＜
(
1/2
)
n−2
•
1
a
2
]，从而可证得[1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+…+
1
a
n
＜
3/2]．
（1）在2Sn=an+1-2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2-22+1，
令n=2得：2S2=a3-23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，
2Sn+1＝an+2−2n+2+1得an+2=3an+1+2n+1，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴an+2n=3n，
∴an=3n-2n；
（3）（法一）
∵an=3n-2n=（3-2）（3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1）≥3n-1
∴[1
an≤
1
3n−1，
∴
1
a1+
1
a2+
1
a3+…+
1
an≤1+
1/3]+[1
32+…+
1
3n−1=
1×(1−(
1/3)n)
1−
1
3]＜[3/2]；
（法二）∵an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，
∴[1
an+1＜
1/2]•[1
an，，
当n≥2时，
1
a3＜
1/2]•[1
a2，
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．
1年前
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