（2014•上海模拟）设有一组圆Ck：（x-k+1 - 已解决

（2014•上海模拟）设有一组圆Ck：（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题，正确的有几个（

（2014•上海模拟）设有一组圆C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴（k∈N^*）．下列四个命题，正确的有几个（　　）

①存在一条定直线与所有的圆均相切；

②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；

④所有的圆均不经过原点．

A．1

B．2

C．3

D．4

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解题思路：根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．

根据题意得：圆心（k-1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k-1，3k），半径为

2k²，

圆k+1：圆心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

2（k+1）²，

两圆的圆心距d=

(k−k+1)2+(3k−3k−3)2=

10，

两圆的半径之差R-r=

2（k+1）²-

2k²=2

2k+

2，

任取k=1或2时，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，选项①错误；

若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将（0，0）带入圆的方程，则有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N^*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．

则正确命题是②④．

故选：B．

点评：

本题考点：圆的标准方程．

考点点评：本题考查圆的方程，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

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