设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n项和，m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，求证： 1
1个回答
当各项均为正数的等比数列{a n}的公比q=1时，
1
S 2m +
1
S 2n =
1
( ma 1 ) 2 +
1
( na 1 ) 2 =
1
a 1 2 （
1
m 2 +
1
n 2 ）≥
1
a 1 2 ×
2
mn ，
∵m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，
∴2p≥2
mn ，
∴
2
p 2 ≤
2
mn ，
∴
1
a 1 2 •
2
p 2 ≤
1
a 1 2 •
2
mn ，又
2
S 2p =
1
a 1 2 •
2
p 2 ；
∴
1
S 2m +
1
S 2n ≥
2
S 2p ；
当q≠1时，
1
S 2m =
(1-q) 2
a 1 2 (1 -q m ) 2 ，
1
S 2n =
(1-q) 2
a 1 2 (1 -q n ) 2 ，
1
S 2p =
(1-q) 2
a 1 2 (1 -q p ) 2 ，
要证
1
S 2m +
1
S 2n ≥
2
S 2p ，只需证
1
(1 -q m ) 2 +
1
(1 -q n ) 2 ≥
2
(1 -q p ) 2 ．
∵
1
(1 -q m ) 2 +
1
(1 -q n ) 2 ≥
2
(1 -q m )(1 -q n ) ，
∴只需证（1-q m）•（1-q n）≤（1-q p） 2，
即证-q m-q n+q m+n≤-2q p+q 2p，∵m+n=2p，
∴只需证q m+q n≥2q p．
∵q m+q n≥2
q m •q n =2
q m+n =2 q
m+n
2 =2q p成立，
∴q≠1时，原结论成立．
综上所述，
1
S 2m +
1
S 2n ≥
2
S 2p ．
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